Exercice 7 : Théorème des valeurs intermédiaires : existence et unicité de solutions

Montrer que l'équation $x^{5}+x^{3}-x^{2}+x+1=0$ admet au moins une solution dans $[-1;0]$

Montrer que l'équation $3\sin(x)+\cos^{2}(x)=x$ admet au moins une solution dans $[0;\pi]$

Montrer que l'équation $x^{3}+\dfrac{1}{x}=3$ admet au moins une solution dans $[-2;2]$

Montrer que l'équation $x^{3}+3x-10=0$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$

On considère la fonction $f(x)=x^{4}+x-1$. Montrer que $C_f$, la courbe de la fonction $f$, coupe l'axe des abscisses dans l'intervalle $[-1;1]$

On considère les fonctions $f(x)=\sqrt{x+1}$ et $g(x)=-x^{3}$.
Montrer que $C_f$ et $C_g$ se coupent en un unique point dont l'abscisse $\alpha$ vérifie : $\dfrac{-7}{8}<\alpha<\dfrac{-3}{4}$