Limites et continuité

Mathematiques

Parties · 11

Rappels

Propriété · limites usuelles

En $+\infty$ ou en $-\infty$ , la limite d'un polynôme est celle de son terme de plus haut degré, et la limite d'une fonction rationnelle est celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
Au voisinage de $0$ :

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}

Exemple

On calcule :

\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{x}=\lim_{x\to 0}4\cdot\frac{\sin 4x}{4x}=4

\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3-x+5}{x^3+7}=\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3}{x^3}=2

Propriété · limites et ordre

Soient $f$ , $u$ et $v$ des fonctions définies au voisinage de $x_0$ ( $x_0$ réel ou $\pm\infty$ ), et $\ell\in\mathbb{R}$ .

Si $u(x)\leqslant f(x)\leqslant v(x)$ et $\displaystyle\lim_{x_0}u=\lim_{x_0}v=\ell$ , alors $\displaystyle\lim_{x_0}f=\ell$ .
Si $|f(x)-\ell|\leqslant u(x)$ et $\displaystyle\lim_{x_0}u=0$ , alors $\displaystyle\lim_{x_0}f=\ell$ .
Si $f(x)\geqslant u(x)$ et $\displaystyle\lim_{x_0}u=+\infty$ , alors $\displaystyle\lim_{x_0}f=+\infty$ .
Si $f(x)\leqslant v(x)$ et $\displaystyle\lim_{x_0}v=-\infty$ , alors $\displaystyle\lim_{x_0}f=-\infty$ .

Exemple

Pour tout $x\neq 0$ , $\left|x^2\cos\dfrac{1}{x}\right|\leqslant x^2$ , et $\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2=0$ , donc :

\lim_{x\to 0}x^2\cos\frac{1}{x}=0

Remarque · image d'un intervalle et tableau de variations

L'image d'un intervalle par une fonction continue se lit sur son tableau de variations : elle va de la plus petite à la plus grande valeur prise par la fonction sur cet intervalle.

Exemple

Une fonction $f$ est continue sur $[0\,;\,5]$ , croissante sur $[0\,;\,2]$ de $1$ à $4$ , puis décroissante sur $[2\,;\,5]$ de $4$ à $-3$ . Donc :

f\big([0\,;\,2]\big)=[1\,;\,4] \qquad f\big([2\,;\,5]\big)=[-3\,;\,4]

f\big([0\,;\,5]\big)=[-3\,;\,4]

Propriété · fonction monotone non bornée

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a\,;\,+\infty[$ .
On dit que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ si :

\begin{aligned}&(\forall A>0)(\exists B>0)(\forall x\in D_f)\\ &x>B\Rightarrow f(x)>A\end{aligned}

Si $f$ est strictement croissante sur $[a\,;\,+\infty[$ et non majorée, alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .
Si $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,b]$ et non minorée, alors $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$ .

Exemple

La fonction $f(x)=x^3+2x$ est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ , et non majorée car $f(x)\geqslant x$ . Donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

Limite en un point

Définition · 1

Soit $f$ une fonction numérique telle qu'il existe $r>0$ avec $]x_0-r\,;\,x_0+r[\,-\,\{x_0\}\subset D_f$ , et soit $\ell$ un nombre réel.
On dit que la limite de $f$ en $x_0$ est $\ell$ si :

\begin{aligned}&(\forall \varepsilon>0)(\exists \alpha>0)(\forall x\in D_f)\\ &0<|x-x_0|<\alpha \Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon\end{aligned}

et on note $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell$ .

Remarque

$\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell$ signifie qu'on peut rendre $f(x)$ aussi proche que l'on veut de $\ell$ , à condition que $x$ soit suffisamment proche de $x_0$ .

Définition · Notation

On pose :

i(x_0;\alpha)=\;]x_0-\alpha\,;\,x_0+\alpha[\;-\;\{x_0\}

Avec cette notation :

\begin{aligned}&\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell \iff (\forall \varepsilon>0)(\exists \alpha>0)\;;\\ &f\big(i(x_0;\alpha)\cap D_f\big)\subset\;]\ell-\varepsilon\,;\,\ell+\varepsilon[\end{aligned}

Attention

L'intervalle autour de $x_0$ est privé de $x_0$ (la limite ne s'intéresse pas à la valeur de $f$ en $x_0$ ), mais l'intervalle autour de $\ell$ n'est pas privé de $\ell$ : la fonction constante $f(x)=\ell$ a pour limite $\ell$ , et si l'on retirait $\ell$ la condition ne serait jamais vérifiée.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=3x^2-x+2$ . Montrons, en utilisant la définition, que $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=12$ .

On a $f(2)=12$ , et :

\begin{aligned}|f(x)-12|&=|3x^2-x-10|\\ &=|(x-2)(3x+5)|\\ &=|x-2|\cdot|3x+5|\end{aligned}

Soit $\varepsilon>0$ . Supposons d'abord $|x-2|<1$ , c'est-à-dire $1<x<3$ , d'où $8<3x+5<14$ et donc $|3x+5|<14$ .
Ainsi $|f(x)-12|<14\,|x-2|$ .
Pour que $|f(x)-12|<\varepsilon$ , il suffit que $|x-2|<\dfrac{\varepsilon}{14}$ .

En choisissant $\alpha=\inf\left(1\,;\,\dfrac{\varepsilon}{14}\right)>0$ , on a :

(\forall x\in D_f)\quad \big(0<|x-2|<\alpha \Rightarrow |f(x)-12|<\varepsilon\big)

ce qui signifie que $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=12$ .

Exemple · Application

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ .
Montrer que pour tout $x$ de $[0\,;\,2]$ on a $\left|f(x)-\dfrac{2}{3}\right|\leqslant \dfrac{7}{6}|x-1|$ , puis en déduire que $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=\dfrac{2}{3}$ .

Correction.

\begin{aligned}f(x)-\frac{2}{3}&=\frac{3x-1}{x+2}-\frac{2}{3}\\ &=\frac{3(3x-1)-2(x+2)}{3(x+2)}\\ &=\frac{7x-7}{3(x+2)}=\frac{7(x-1)}{3(x+2)}\end{aligned}

Pour tout $x$ de $[0\,;\,2]$ on a $x+2\in[2\,;\,4]$ , donc $3(x+2)\geqslant 6$ et par suite :

\left|f(x)-\frac{2}{3}\right|=\frac{7|x-1|}{3(x+2)}\leqslant \frac{7}{6}|x-1|

Soit $\varepsilon>0$ . En choisissant $\alpha=\inf\left(1\,;\,\dfrac{6\varepsilon}{7}\right)$ , on obtient $\left|f(x)-\dfrac{2}{3}\right|<\varepsilon$ dès que $0<|x-1|<\alpha$ , c'est-à-dire $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=\dfrac{2}{3}$ .

Continuité en un point

Définition · 2

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert centré en $x_0$ (c'est-à-dire $f$ définie au voisinage de $x_0$ ).
On dit que la fonction $f$ est continue au point $x_0$ si :

\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)

Remarque · Interprétation géométrique

$f$ continue en $x_0$ signifie que la courbe $(\mathcal{C}_f)$ est continue au point $M_0\big(x_0\,;\,f(x_0)\big)$ .
$f$ discontinue en $x_0$ signifie que la courbe $(\mathcal{C}_f)$ est interrompue au point $M_0\big(x_0\,;\,f(x_0)\big)$ .

Remarque

Si $f$ est définie en un point $x_0$ et n'admet pas de limite en $x_0$ , ou si sa limite est infinie, on dit que $f$ est discontinue au point $x_0$ .
$f$ est continue en $x_0$ si et seulement si :

\begin{aligned}&(\forall \varepsilon>0)(\exists \alpha>0)(\forall x\in D_f)\\ &|x-x_0|<\alpha \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\end{aligned}

Exemple · 1

Soit $f$ la fonction définie par :

\begin{gathered}f(x)=\frac{x^2-7x+10}{x-2}\ ;\ x\neq 2\\ f(2)=-3\end{gathered}

Étudions la continuité de $f$ au point $x_0=2$ .
Pour tout $x\neq 2$ :

f(x)=\frac{(x-2)(x-5)}{x-2}=x-5

Donc $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}(x-5)=-3=f(2)$ .
Par conséquent la fonction $f$ est continue au point $x_0=2$ .

Exemple · 2

Soit $g$ la fonction définie par :

\begin{gathered}g(x)=\frac{\sin(x-3)}{x^2-3x}\ ;\ x\neq 0 \text{ et } x\neq 3\\ g(3)=\frac{1}{3}\end{gathered}

Pour tout $x\notin\{0;3\}$ :

g(x)=\frac{\sin(x-3)}{x(x-3)}=\frac{1}{x}\cdot\frac{\sin(x-3)}{x-3}

D'où $\displaystyle\lim_{x\to 3} g(x)=\frac{1}{3}\times 1=\frac{1}{3}=g(3)$ , donc $g$ est continue au point $x_0=3$ .
En $x_1=0$ , comme $0\notin D_g$ , la fonction $g$ n'est pas continue au point $x_1=0$ .

Exemple · 3

Soit $h$ la fonction définie sur $[-2\,;\,1]$ par $h(x)=E(x)$ (partie entière). On a :

\begin{aligned}&(\forall x\in[-2\,;\,-1[)\quad h(x)=-2\\ &(\forall x\in[-1\,;\,0[)\quad h(x)=-1\\ &(\forall x\in[0\,;\,1[)\quad h(x)=0\\ &h(1)=1\end{aligned}

La courbe $(\mathcal{C}_h)$ est interrompue aux points $-1$ , $0$ et $1$ , donc $h$ n'est pas continue en ces points. La démonstration se fait aisément à l'aide de la définition.

Exemple · Application 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{-3x^2+2x+1}{x-1}$ pour $x\neq 1$ et $f(1)=-4$ . La fonction $f$ est-elle continue au point $x_0=1$ ?

Correction. On a $-3x^2+2x+1=-(3x^2-2x-1)=-(3x+1)(x-1)$ , donc pour tout $x\neq 1$ :

f(x)=\frac{-(3x+1)(x-1)}{x-1}=-(3x+1)

D'où $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=-4=f(1)$ , donc $f$ est continue en $x_0=1$ .

Exemple · Application 2

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{2x+\tan 3x}{\sin 5x}$ pour $x\neq 0$ et $g(0)=1$ . La fonction $g$ est-elle continue au point $x_0=0$ ?

Correction. Au voisinage de $0$ on a $\tan 3x\sim 3x$ et $\sin 5x\sim 5x$ , donc :

\lim_{x\to 0} g(x)=\lim_{x\to 0}\frac{2x+3x}{5x}=\lim_{x\to 0}\frac{5x}{5x}=1=g(0)

Par conséquent $g$ est continue au point $x_0=0$ .

Continuité à droite et à gauche

Définition · 3

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[x_0\,;\,x_0+\alpha[$ où $\alpha>0$ .
On dit que $f$ est continue à droite en $x_0$ si $\displaystyle\lim_{\substack{x\to x_0 \\ x>x_0}} f(x)=f(x_0)$ .
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]x_0-\alpha\,;\,x_0]$ où $\alpha>0$ .
On dit que $f$ est continue à gauche en $x_0$ si $\displaystyle\lim_{\substack{x\to x_0 \\ x<x_0}} f(x)=f(x_0)$ .

Exemple · 1

Soit $f$ la fonction définie par :

\begin{gathered}f(x)=5-2x^2 \ ;\ x\leqslant 0\\ f(x)=\frac{x^2-5}{x-1}\ ;\ x>0\end{gathered}

Étudions la continuité à droite et à gauche en $x_0=0$ . On a $f(0)=5$ .

\begin{gathered}\lim_{\substack{x\to 0 \\ x>0}} f(x)=\frac{0-5}{0-1}=5=f(0)\\ \Rightarrow\ f \text{ est continue à droite en } 0\end{gathered}

\begin{gathered}\lim_{\substack{x\to 0 \\ x<0}} f(x)=5-0=5=f(0)\\ \Rightarrow\ f \text{ est continue à gauche en } 0\end{gathered}

Comme les deux limites valent $f(0)$ , on a $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=f(0)$ , donc $f$ est continue en $x_0=0$ .

Exemple · 2

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{x^2-4}{|x-2|}$ pour $x\neq 2$ et $g(2)=4$ .

Pour tout $x>2$ on a $|x-2|=x-2$ , donc $g(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ et :

\begin{gathered}\lim_{\substack{x\to 2 \\ x>2}} g(x)=4=g(2)\\ \Rightarrow\ g \text{ est continue à droite en } 2\end{gathered}

Pour tout $x<2$ on a $|x-2|=-(x-2)$ , donc $g(x)=-(x+2)$ et :

\begin{gathered}\lim_{\substack{x\to 2 \\ x<2}} g(x)=-4\neq g(2)\\ \Rightarrow\ g \text{ n'est pas continue à gauche en } 2\end{gathered}

Comme la limite à droite diffère de la limite à gauche, $g$ n'admet pas de limite en $2$ , donc $g$ n'est pas continue en $x_0=2$ .

Propriété · 3

$f$ est continue au point $x_0$ si et seulement si $f$ est continue à droite et à gauche en $x_0$ .
Autrement dit : $f$ continue en $x_0$ équivaut à $\displaystyle\lim_{\substack{x\to x_0 \\ x>x_0}} f(x)=\lim_{\substack{x\to x_0 \\ x<x_0}} f(x)=f(x_0)$ .

Exemple · Application 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{2x}{x+2}$ pour $x\leqslant 0$ et $f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x+4}$ pour $x>0$ . Étudier la continuité de $f$ au point $x_0=0$ .

Correction. On a $f(0)=\dfrac{0}{2}=0$ .
$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0 \\ x<0}} f(x)=\frac{0}{2}=0=f(0)$ , donc $f$ est continue à gauche en $0$ .
$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0 \\ x>0}} f(x)=\frac{0}{4}=0=f(0)$ , donc $f$ est continue à droite en $0$ .
D'après la propriété 3, $f$ est continue au point $x_0=0$ .

Exemple · Application 2

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=x^2+3x$ pour $x\leqslant 1$ et $g(x)=\dfrac{a\sin(x-1)}{x-1}$ pour $x>1$ , où $a$ est un nombre réel.
Déterminer la valeur de $a$ pour que $g$ soit continue au point $x_0=1$ .

Correction. On a $g(1)=1+3=4$ , et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1 \\ x<1}} g(x)=4=g(1)$ : la continuité à gauche est toujours vérifiée.

\lim_{\substack{x\to 1 \\ x>1}} g(x)=\lim_{\substack{x\to 1 \\ x>1}} a\cdot\frac{\sin(x-1)}{x-1}=a\times 1=a

Pour que $g$ soit continue en $1$ , il faut que $a=g(1)=4$ .
Donc $a=4$ .

Prolongement par continuité

Définition · 4

Soit $f$ une fonction numérique non définie en $x_0$ (c'est-à-dire $x_0\notin D_f$ ) et admettant une limite finie $\ell$ en $x_0$ : $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell\in\mathbb{R}$ .
La fonction $g$ définie par :

g(x)=f(x)\ ;\ x\in D_f \qquad\text{et}\qquad g(x_0)=\ell

est une fonction continue en $x_0$ , appelée prolongement par continuité de la fonction $f$ en $x_0$ .

Exemple · 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^3-8}{x-2}$ .
On a $2\notin D_f$ , et pour tout $x\neq 2$ :

f(x)=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=x^2+2x+4

Donc $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=4+4+4=12\in\mathbb{R}$ .
Par conséquent $f$ admet un prolongement par continuité $g$ au point $x_0=2$ , défini par :

g(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\ ;\ x\neq 2 \qquad\text{et}\qquad g(2)=12

Exemple · 2

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{\sin 2x}{x}$ .
On a $0\notin D_f$ et $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x\to 0} 2\cdot\frac{\sin 2x}{2x}=2\in\mathbb{R}$ .
Donc $f$ admet un prolongement par continuité $g$ en $x_0=0$ , défini par :

g(x)=\frac{\sin 2x}{x}\ ;\ x\neq 0 \qquad\text{et}\qquad g(0)=2

Exemple · Application

Donner un prolongement par continuité de la fonction $f$ au point $x_0$ dans chacun des cas suivants :

$f(x)=\dfrac{x^3+2x^2-4x-8}{x+2}$ et $x_0=-2$
$f(x)=\dfrac{x^4-a^4}{x-a}$ et $x_0=a$
$f(x)=\dfrac{1-\cos 2x}{x^2}$ et $x_0=0$

Correction.

$x^3+2x^2-4x-8=(x+2)(x^2-4)$ , donc pour tout $x\neq -2$ : $f(x)=x^2-4$ et $\displaystyle\lim_{x\to -2} f(x)=0$ .
Prolongement : $g(x)=f(x)$ pour $x\neq -2$ et $g(-2)=0$ .
$x^4-a^4=(x-a)(x^3+ax^2+a^2x+a^3)$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=4a^3$ .
Prolongement : $g(x)=f(x)$ pour $x\neq a$ et $g(a)=4a^3$ .
Comme $1-\cos 2x=2\sin^2 x$ , on a $f(x)=\dfrac{2\sin^2 x}{x^2}=2\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2$ , d'où $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=2$ .
Prolongement : $g(x)=f(x)$ pour $x\neq 0$ et $g(0)=2$ .

Continuité sur un intervalle

Définition · 5

La fonction $f$ est continue sur un intervalle ouvert $I$ si et seulement si elle est continue en tout point de $I$ .
La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $]a\,;\,b[$ si et seulement si elle est continue en tout point de $]a\,;\,b[$ .
La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[a\,;\,b]$ si et seulement si elle est continue sur $]a\,;\,b[$ , continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$ .
La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[a\,;\,b[$ si et seulement si elle est continue sur $]a\,;\,b[$ et continue à droite en $a$ .

Exemple

Toute fonction constante est continue sur $\mathbb{R}$ .
Toute fonction polynomiale $P$ est continue sur $\mathbb{R}$ , car $\displaystyle\lim_{x\to x_0} P(x)=P(x_0)$ pour tout $x_0\in\mathbb{R}$ .
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^3+x^2-2x+3}{x-2}$ . On a $D_f=\;]-\infty\,;\,2[\;\cup\;]2\,;\,+\infty[$ .
On sait que pour tout $x_0$ de $D_f$ : $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ , donc $f$ est continue sur chacun des intervalles $]-\infty\,;\,2[$ et $]2\,;\,+\infty[$ , et par suite sur tout intervalle inclus dans $D_f$ .
Toute fonction rationnelle est continue sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition.
Les fonctions $x\mapsto \cos x$ , $x\mapsto \sin x$ et $x\mapsto \tan x$ sont continues sur leur domaine de définition.

Exemple · Application

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=2x-E(x)$ .

Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle $]0\,;\,1[$ .
Montrer que pour tout $k$ de $\mathbb{Z}$ , la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $]k\,;\,k+1[$ .

Correction.

Pour tout $x\in\;]0\,;\,1[$ on a $E(x)=0$ , donc $f(x)=2x$ sur cet intervalle. Comme $x\mapsto 2x$ est une fonction polynomiale, elle est continue sur $\mathbb{R}$ , donc $f$ est continue sur $]0\,;\,1[$ .
Soit $k\in\mathbb{Z}$ . Pour tout $x\in\;]k\,;\,k+1[$ on a $E(x)=k$ , donc $f(x)=2x-k$ sur cet intervalle : c'est une fonction polynomiale, donc continue sur $]k\,;\,k+1[$ .

Opérations sur les fonctions continues

Propriété · 4

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues en $x_0$ et $k$ un nombre réel, alors :

Les fonctions $f+g$ , $kf$ et $fg$ sont continues en $x_0$ .
Si $g(x_0)\neq 0$ , alors la fonction $\dfrac{f}{g}$ est continue en $x_0$ .
La fonction $|f|$ est continue en $x_0$ .
Si $f(x_0)>0$ , alors la fonction $\sqrt{f}$ est continue en $x_0$ .
Si $f(x_0)=0$ et $\sqrt{f}$ est définie au voisinage de $x_0$ , alors $\sqrt{f}$ est continue en $x_0$ .

Démonstration · de la propriété 4

Exemple · 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^2+x-1}{3|x-2|-6}$ . Étudions la continuité de $f$ sur $D_f$ .
On a $3|x-2|-6=0 \iff |x-2|=2 \iff x=0$ ou $x=4$ , donc :

D_f=\;]-\infty\,;\,0[\;\cup\;]0\,;\,4[\;\cup\;]4\,;\,+\infty[

Posons $f_1:x\mapsto x^2+x-1$ et $f_2:x\mapsto 3|x-2|-6$ .
$f_1$ est continue sur $\mathbb{R}$ car polynomiale, donc sur tout intervalle inclus dans $D_f$ .
$f_2$ est continue sur $\mathbb{R}$ (produit d'un réel par la valeur absolue d'une fonction continue, plus une constante), donc sur tout intervalle inclus dans $D_f$ .
Comme $f_2(x)\neq 0$ pour tout $x\in D_f$ , la fonction $f=\dfrac{f_1}{f_2}$ est continue sur tout intervalle inclus dans $D_f$ .

Exemple · 2

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\sqrt{x^2+4}\,\cos x$ . Montrons que $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
Comme la fonction $x\mapsto x^2+4$ est continue et strictement positive sur $\mathbb{R}$ , la fonction $g_1:x\mapsto\sqrt{x^2+4}$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
La fonction $g_2:x\mapsto \cos x$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
Donc la fonction $g=g_1\times g_2$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Exemple · Application

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=|3x-1|+\dfrac{x-2}{x^2+x+2}$ . Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{\sqrt{x-3}}{5-x}$ . Montrer que $g$ est continue sur l'intervalle $[3\,;\,5[$ .
Étudier la continuité de la fonction $h:x\mapsto (x-1)E(x)$ sur l'intervalle $[0\,;\,3]$ .

Correction.

La fonction $x\mapsto 3x-1$ est polynomiale donc continue sur $\mathbb{R}$ , d'où $x\mapsto|3x-1|$ continue sur $\mathbb{R}$ .
Le discriminant de $x^2+x+2$ est $\Delta=1-8=-7<0$ , donc $x^2+x+2\neq 0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ , et $x\mapsto\dfrac{x-2}{x^2+x+2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
La somme de deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$ est continue sur $\mathbb{R}$ , donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
Pour tout $x\in[3\,;\,5[$ on a $x-3\geqslant 0$ , donc $x\mapsto\sqrt{x-3}$ est continue sur $[3\,;\,5[$ .
De plus $5-x\neq 0$ sur $[3\,;\,5[$ , donc il s'agit du quotient de deux fonctions continues, et $g$ est continue sur $[3\,;\,5[$ .
Écrivons $h$ sur chaque sous-intervalle :

\begin{aligned}&(\forall x\in[0\,;\,1[)\quad h(x)=0\\ &(\forall x\in[1\,;\,2[)\quad h(x)=x-1\\ &(\forall x\in[2\,;\,3[)\quad h(x)=2(x-1)\\ &h(3)=6\end{aligned}

Sur chacun des intervalles $]0\,;\,1[$ , $]1\,;\,2[$ et $]2\,;\,3[$ , $h$ coïncide avec une fonction polynomiale, donc y est continue.

En $1$ : $\displaystyle\lim_{x\to 1^-} h(x)=0$ , $h(1)=(1-1)\times 1=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^+} h(x)=0$ . Donc $h$ est continue en $1$ .
En $2$ : $\displaystyle\lim_{x\to 2^-} h(x)=1$ alors que $h(2)=(2-1)\times 2=2$ . Donc $h$ n'est pas continue en $2$ .
En $3$ : $\displaystyle\lim_{x\to 3^-} h(x)=4$ alors que $h(3)=6$ . Donc $h$ n'est pas continue à gauche en $3$ .

Conclusion : $h$ est continue sur $[0\,;\,2[$ et sur $]2\,;\,3[$ , et discontinue en $2$ et en $3$ .
Remarquons que $h$ est continue en $1$ bien que $E$ y soit discontinue : le facteur $(x-1)$ , qui s'annule en $1$ , masque la discontinuité.

Composée de deux fonctions

Continuité de la composée de deux fonctions

Propriété · 5

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ tels que $f(I)\subset J$ , et soit $x_0$ un élément de $I$ .
Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ continue en $f(x_0)$ , alors la fonction $g\circ f$ est continue en $x_0$ .
Autrement dit : ( $f$ continue en $x_0$ et $g$ continue en $f(x_0)$ ) $\Rightarrow$ ( $g\circ f$ continue en $x_0$ ).

Démonstration · de la propriété 5

Propriété · 6

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $g$ continue sur un intervalle $J$ tels que $f(I)\subset J$ , alors la fonction $g\circ f$ est continue sur l'intervalle $I$ .

Exemple · 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sin(3x^2+x-2)$ . Montrons que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
Comme les fonctions $f_1:x\mapsto 3x^2+x-2$ et $f_2:x\mapsto \sin x$ sont continues sur $\mathbb{R}$ et $f_1(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}$ , la fonction $f=f_2\circ f_1$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Exemple · 2

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\sqrt{\dfrac{2x}{1+\cos^2 x}}$ . Étudions la continuité de $g$ .
On a $1+\cos^2 x\geqslant 1>0$ pour tout $x$ , donc $g$ est définie lorsque $2x\geqslant 0$ , c'est-à-dire $D_g=[0\,;\,+\infty[$ .
La fonction $g_1:x\mapsto\dfrac{2x}{1+\cos^2 x}$ est continue sur $[0\,;\,+\infty[$ (quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas), et $g_1([0\,;\,+\infty[)\subset\mathbb{R}^+$ .
La fonction $g_2:x\mapsto\sqrt{x}$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ .
Donc la fonction $g=g_2\circ g_1$ est continue sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Exemple · 3

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies par :

\begin{gathered}f(x)=x+2 \ ;\ x<0\\ f(x)=0 \ ;\ x\geqslant 0\\ g(x)=7\end{gathered}

On a $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0 \\ x<0}} f(x)=2\neq 0=f(0)$ , donc $f$ n'est pas continue à gauche en $0$ , et par suite $f$ n'est pas continue en $x_0=0$ .
La fonction $g$ est constante, donc continue en $f(0)=0$ .
On a $(g\circ f)(x)=7$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ , donc la fonction $g\circ f$ est continue en $x_0=0$ .

Remarque

Dans l'exemple 3, $f$ n'est pas continue en $0$ alors que $g\circ f$ l'est. En général, la fonction $g\circ f$ peut être continue en un point sans que $f$ y soit continue.

Exemple · Application

Étudier la continuité de la fonction $f$ sur les intervalles de son ensemble de définition dans chacun des cas suivants :

$f(x)=\cos\left(\dfrac{3x-2}{x^2-4}\right)$
$f(x)=\sin(\tan^2 x)$
$f(x)=\tan\dfrac{\pi}{2x}$
$f(x)=\sin\sqrt{x}$

Correction.

$D_f=\mathbb{R}-\{-2\,;\,2\}$ . La fonction $x\mapsto\dfrac{3x-2}{x^2-4}$ est rationnelle donc continue sur tout intervalle inclus dans $D_f$ , et $\cos$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Donc $f$ est continue sur chacun des intervalles $]-\infty\,;\,-2[$ , $]-2\,;\,2[$ et $]2\,;\,+\infty[$ .
$D_f=\mathbb{R}-\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi \,;\, k\in\mathbb{Z}\right\}$ . La fonction $\tan$ est continue sur son domaine, son carré aussi, et $\sin$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Donc $f$ est continue sur tout intervalle de la forme $\left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi\,;\,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[$ .
Il faut $x\neq 0$ et $\dfrac{\pi}{2x}\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ , c'est-à-dire $x\neq\dfrac{1}{1+2k}$ pour $k\in\mathbb{Z}$ . Sur tout intervalle ne contenant pas ces points, $x\mapsto\dfrac{\pi}{2x}$ est continue et $\tan$ est continue, donc $f$ est continue.
$D_f=[0\,;\,+\infty[$ . La fonction $x\mapsto\sqrt{x}$ est continue sur $[0\,;\,+\infty[$ et $\sin$ est continue sur $\mathbb{R}$ , donc $f$ est continue sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Composée d'une fonction continue et d'une fonction admettant une limite

Propriété · 7

Soit $f$ une fonction définie sur l'ensemble $I=\;]x_0-r\,;\,x_0+r[$ où $r>0$ , et $g$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $J$ centré en $\ell$ tel que $f(I)\subset J$ .
Si $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell$ et $g$ est continue en $\ell$ , alors :

\lim_{x\to x_0}(g\circ f)(x)=g(\ell)

Démonstration · de la propriété 7

Remarque

La propriété reste valable en $x_0$ à droite, en $x_0$ à gauche, en $+\infty$ ou en $-\infty$ , en remplaçant l'intervalle $I$ par un intervalle approprié.

Exemple · 1

Déterminons la limite $\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos\left(\frac{1-\cos x}{x^2}\,\pi\right)$ .
Posons $f:x\mapsto\dfrac{1-\cos x}{x^2}\,\pi$ et $g:x\mapsto\cos x$ .
Comme $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ , on a $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=\frac{\pi}{2}$ , et $g$ est continue en $\dfrac{\pi}{2}$ , donc :

\lim_{x\to 0}\cos\left(\frac{1-\cos x}{x^2}\,\pi\right)=g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0

Exemple · 2

Déterminons la limite $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\cos\left(\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{4x+1}{x+1}}\right)$ .
Comme :

\lim_{x\to+\infty}\frac{4x+1}{x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{4+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=4

on a $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{4x+1}{x+1}}=\frac{\pi}{2}\times 2=\pi$ .
Et la fonction $x\mapsto\cos x$ est continue en $\pi$ , donc :

\lim_{x\to+\infty}\cos\left(\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{4x+1}{x+1}}\right)=\cos\pi=-1

Exemple · Application

Calculer les limites suivantes :

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\tan\left(\frac{\pi\sin 2x}{8x}\right)$
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\cos\left(\frac{\pi(2x+1)}{4x+1}\right)$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sin\left(\frac{\pi(3x-1)}{6x+1}\right)$

Correction.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{8x}=\lim_{x\to 0}\frac{2}{8}\cdot\frac{\sin 2x}{2x}=\frac{1}{4}$ , donc l'argument tend vers $\dfrac{\pi}{4}$ , et $\tan$ est continue en $\dfrac{\pi}{4}$ , d'où la limite $=\tan\dfrac{\pi}{4}=1$ .
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{2x+1}{4x+1}=\frac{1}{2}$ , donc l'argument tend vers $\dfrac{\pi}{2}$ , et $\cos$ est continue en $\dfrac{\pi}{2}$ , d'où la limite $=\cos\dfrac{\pi}{2}=0$ .
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x-1}{6x+1}=\frac{1}{2}$ , donc l'argument tend vers $\dfrac{\pi}{2}$ , et $\sin$ est continue en $\dfrac{\pi}{2}$ , d'où la limite $=\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ .

Image d'un intervalle

Image d'un segment par une fonction continue

Propriété · 8

L'image d'un segment par une fonction continue est aussi un segment.
Autrement dit : si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ , alors $f\big([a\,;\,b]\big)=[m\,;\,M]$ .

Remarque

Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ , il existe $\alpha$ et $\beta$ dans $[a\,;\,b]$ tels que $M=f(\alpha)$ soit la valeur maximale de $f$ sur $[a\,;\,b]$ et $m=f(\beta)$ la valeur minimale de $f$ sur $[a\,;\,b]$ , et on a $f\big([a\,;\,b]\big)=[m\,;\,M]$ .

Propriété · 9

L'image d'un intervalle de $\mathbb{R}$ par une fonction continue sur cet intervalle est un intervalle de $\mathbb{R}$ .
Autrement dit : ( $I$ intervalle et $f$ continue sur $I$ ) $\Rightarrow$ $f(I)$ intervalle.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2+2x$ . Sous forme canonique $f(x)=(x+1)^2-1$ , donc $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,-1]$ et croissante sur $[-1\,;\,+\infty[$ , de valeur minimale $f(-1)=-1$ .

I_1=[-2\,;\,1] \quad\text{et}\quad f(I_1)=[-1\,;\,3]

I_2=[0\,;\,2] \quad\text{et}\quad f(I_2)=[0\,;\,8]

I_3=\;]-2\,;\,0] \quad\text{et}\quad f(I_3)=[-1\,;\,0]

I_4=[-1\,;\,+\infty[ \quad\text{et}\quad f(I_4)=[-1\,;\,+\infty[

Attention

L'image d'un segment par une fonction non continue n'est pas nécessairement un segment. Si $f$ est définie sur $[0\,;\,4]$ et non continue, on peut par exemple avoir $f\big([0\,;\,4]\big)=[1\,;\,3[$ , qui n'est pas un segment. La continuité est une hypothèse indispensable dans la propriété 8.

Image d'un intervalle par une fonction strictement monotone

Propriété · 10

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , et $a$ , $b$ deux nombres réels ou $+\infty$ ou $-\infty$ .

$I=[a\,;\,b]$ :
strictement croissante : $f(I)=[f(a)\,;\,f(b)]$
strictement décroissante : $f(I)=[f(b)\,;\,f(a)]$
$I=]a\,;\,b]$ :
strictement croissante : $f(I)=\left]\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\,;\,f(b)\right]$
strictement décroissante : $f(I)=\left[f(b)\,;\,\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\right[$
$I=[a\,;\,b[$ :
strictement croissante : $f(I)=\left[f(a)\,;\,\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)\right[$
strictement décroissante : $f(I)=\left]\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)\,;\,f(a)\right]$
$I=]a\,;\,b[$ :
strictement croissante : $f(I)=\left]\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\,;\,\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)\right[$
strictement décroissante : $f(I)=\left]\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)\,;\,\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\right[$

Exemple

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ . On a $D_f=\;]-\infty\,;\,-2[\;\cup\;]-2\,;\,+\infty[$ , et :

\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=6+1=7>0

donc $f$ est continue et strictement croissante sur chacun des intervalles $]-\infty\,;\,-2[$ et $]-2\,;\,+\infty[$ . Par suite :

$f\big([0\,;\,1]\big)=\left[f(0)\,;\,f(1)\right]=\left[-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{2}{3}\right]$
$f\big([-3\,;\,-2[\big)=\left[f(-3)\,;\,\displaystyle\lim_{x\to(-2)^-}f(x)\right[=[10\,;\,+\infty[$
$f\big(]-2\,;\,1]\big)=\left]\displaystyle\lim_{x\to(-2)^+}f(x)\,;\,f(1)\right]=\left]-\infty\,;\,\dfrac{2}{3}\right]$
$f\big([2\,;\,+\infty[\big)=\left[f(2)\,;\,\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\right[=\left[\dfrac{5}{4}\,;\,3\right[$

Exemple · Application

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=x^2-4x+5$ . Déterminer les images des intervalles suivants par $g$ :

I=\;]-\infty\,;\,1] \quad;\quad J=[2\,;\,3] \quad;\quad K=[0\,;\,3]

Soit $a$ un nombre réel. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{ax+2}{x-1}$ . Déterminer $a$ sachant que $f\big(]1\,;\,2]\big)=[8\,;\,+\infty[$ .

Correction.

On a $g(x)=(x-2)^2+1$ , donc $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,2]$ et strictement croissante sur $[2\,;\,+\infty[$ , de valeur minimale $g(2)=1$ .

$I=\;]-\infty\,;\,1]$ : $g$ y est continue et strictement décroissante, $g(1)=2$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty$ , donc $g(I)=[2\,;\,+\infty[$ .
$J=[2\,;\,3]$ : $g$ y est strictement croissante, donc $g(J)=[g(2)\,;\,g(3)]=[1\,;\,2]$ .
$K=[0\,;\,3]$ : contient $2$ , la valeur minimale est $g(2)=1$ et la valeur maximale est $\max(g(0);g(3))=\max(5;2)=5$ , donc $g(K)=[1\,;\,5]$ .

On a $f(2)=\dfrac{2a+2}{1}=2a+2$ .
Comme $f\big(]1\,;\,2]\big)=[8\,;\,+\infty[$ , la borne fermée $8$ est $f(2)$ , d'où $2a+2=8$ et $a=3$ .
Vérification : pour $a=3$ on a $f(x)=\dfrac{3x+2}{x-1}$ et $\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1\end{vmatrix}=-3-2=-5<0$ , donc $f$ est strictement décroissante sur $]1\,;\,+\infty[$ , et $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty$ , d'où $f\big(]1\,;\,2]\big)=[f(2)\,;\,+\infty[=[8\,;\,+\infty[$ . Donc $a=3$ .

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème · 1 — valeurs intermédiaires

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a\,;\,b]$ , alors pour tout nombre réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un nombre réel $\alpha$ de $[a\,;\,b]$ tel que $f(\alpha)=k$ .

Démonstration · du théorème 1

Théorème · 2

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a\,;\,b]$ et $f(a)f(b)\leqslant 0$ , alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$ .

Démonstration · du théorème 2

Remarque

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a\,;\,b]$ avec $f(a)f(b)<0$ , alors l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans $[a\,;\,b]$ .
Si $f$ est strictement monotone sur $[a\,;\,b]$ , alors : $\big(\forall (x,t)\in[a\,;\,b]^2\big)\quad \big(f(x)=f(t) \Rightarrow x=t\big)$ .

Exemple · 1

Montrons que l'équation $4x^3-3x+\dfrac{1}{2}=0$ admet trois solutions distinctes.
Considérons la fonction $g:x\mapsto 4x^3-3x+\dfrac{1}{2}$ , continue sur $\mathbb{R}$ car polynomiale.

\begin{gathered}g(-1)=-\frac{1}{2} \quad;\quad g\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}\\ g(0)=\frac{1}{2}\\ g\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2} \quad;\quad g(1)=\frac{3}{2}\end{gathered}

$g(-1)\,g\!\left(-\frac{1}{2}\right)<0$ , donc il existe $\alpha_1\in\left]-1\,;\,-\dfrac{1}{2}\right[$ tel que $g(\alpha_1)=0$ .
$g(0)\,g\!\left(\frac{1}{2}\right)<0$ , donc il existe $\alpha_2\in\left]0\,;\,\dfrac{1}{2}\right[$ tel que $g(\alpha_2)=0$ .
$g\!\left(\frac{1}{2}\right)g(1)<0$ , donc il existe $\alpha_3\in\left]\dfrac{1}{2}\,;\,1\right[$ tel que $g(\alpha_3)=0$ .

Par conséquent l'équation $4x^3-3x+\dfrac{1}{2}=0$ admet trois solutions distinctes appartenant respectivement aux intervalles $\left]-1\,;\,-\dfrac{1}{2}\right[$ , $\left]0\,;\,\dfrac{1}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{1}{2}\,;\,1\right[$ .

Exemple · 2

Montrons que l'équation $x^3+2x+1=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $]-1\,;\,0[$ .
Considérons la fonction $f:x\mapsto x^3+2x+1$ , continue sur $\mathbb{R}$ car polynomiale.
On a $f(-1)=-1-2+1=-2$ et $f(0)=1$ , donc $f(-1)f(0)<0$ .
D'après le théorème 2, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]-1\,;\,0[$ .
De plus $f$ est strictement croissante sur $]-1\,;\,0[$ (somme de deux fonctions strictement croissantes, $x\mapsto x^3$ et $x\mapsto 2x$ , plus une constante).
Par conséquent l'équation $x^3+2x+1=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $]-1\,;\,0[$ .

Exemple · Application

Montrer que les équations suivantes admettent au moins une solution dans l'intervalle $I$ :
a. $x^4+2x^2+3x-2=0$ et $I=[0\,;\,1]$
b. $3\cos x-x=0$ et $I=[0\,;\,\pi]$
c. $2+\sin x=6x$ et $I=\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$
Montrer que l'équation $x^3-9x^2+12=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $[-2\,;\,0]$ .

Correction.

a. Posons $f(x)=x^4+2x^2+3x-2$ , continue sur $[0\,;\,1]$ (polynomiale).
$f(0)=-2<0$ et $f(1)=1+2+3-2=4>0$ , donc $f(0)f(1)<0$ et il existe au moins une solution dans $[0\,;\,1]$ .
b. Posons $f(x)=3\cos x-x$ , continue sur $[0\,;\,\pi]$ .
$f(0)=3>0$ et $f(\pi)=-3-\pi<0$ , donc $f(0)f(\pi)<0$ et il existe au moins une solution dans $[0\,;\,\pi]$ .
c. Posons $f(x)=2+\sin x-6x$ , continue sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ .
$f(0)=2>0$ et $f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3-3\pi<0$ , donc il existe au moins une solution dans $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ .
Posons $f(x)=x^3-9x^2+12$ , continue sur $[-2\,;\,0]$ (polynomiale).
$f(-2)=-8-36+12=-32<0$ et $f(0)=12>0$ , donc $f(-2)f(0)<0$ et il existe au moins une solution dans $[-2\,;\,0]$ .
De plus, sur $[-2\,;\,0]$ : la fonction $x\mapsto x^3$ est strictement croissante, et $x\mapsto x^2$ est décroissante (car $x\leqslant 0$ ), donc $x\mapsto -9x^2$ est croissante. Ainsi $f$ est la somme de deux fonctions croissantes plus une constante : elle est strictement croissante sur $[-2\,;\,0]$ .
Par conséquent l'équation $x^3-9x^2+12=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $[-2\,;\,0]$ .

Limites et continuité

Rappels

Limite en un point

Unicité et opérations

Continuité en un point

Continuité à droite et à gauche

Prolongement par continuité

Continuité sur un intervalle

Opérations sur les fonctions continues

Composée de deux fonctions

Continuité de la composée de deux fonctions

Composée d'une fonction continue et d'une fonction admettant une limite

Image d'un intervalle

Image d'un segment par une fonction continue

Image d'un intervalle par une fonction strictement monotone

Théorème des valeurs intermédiaires