النهاية والاتصال

نحسب :

لكل $x\neq 0$ لدينا $\left|x^2\cos\dfrac{1}{x}\right|\leqslant x^2$، و $\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2=0$، إذن :

دالة $f$ متصلة على $[0\,;\,5]$، تزايدية على $[0\,;\,2]$ من $1$ إلى $4$، ثم تناقصية على $[2\,;\,5]$ من $4$ إلى $-3$. إذن :

الدالة $f(x)=x^3+2x$ تزايدية قطعًا على $[0\,;\,+\infty[$، وغير مكبورة لأن $f(x)\geqslant x$. إذن $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ $f(x)=3x^2-x+2$. نبين باستعمال التعريف أن $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=12$.

لدينا $f(2)=12$، و :

ليكن $\varepsilon>0$. نفترض أولًا أن $|x-2|<1$، أي $1<x<3$، ومنه $8<3x+5<14$ وبالتالي $|3x+5|<14$.
إذن $|f(x)-12|<14\,|x-2|$.
ولكي يكون $|f(x)-12|<\varepsilon$ يكفي أن يكون $|x-2|<\dfrac{\varepsilon}{14}$.

باختيار $\alpha=\inf\left(1\,;\,\dfrac{\varepsilon}{14}\right)>0$ يتحقق :

وهذا يعني أن $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=12$.

لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$.
بيّن أنه لكل $x$ من $[0\,;\,2]$ لدينا $\left|f(x)-\dfrac{2}{3}\right|\leqslant \dfrac{7}{6}|x-1|$، ثم استنتج أن $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=\dfrac{2}{3}$.

التصحيح.

لكل $x$ من $[0\,;\,2]$ لدينا $x+2\in[2\,;\,4]$، إذن $3(x+2)\geqslant 6$ ومنه :

ليكن $\varepsilon>0$. باختيار $\alpha=\inf\left(1\,;\,\dfrac{6\varepsilon}{7}\right)$ نحصل على $\left|f(x)-\dfrac{2}{3}\right|<\varepsilon$ كلما كان $0<|x-1|<\alpha$، أي $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=\dfrac{2}{3}$.

لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ :

ندرس اتصال $f$ في النقطة $x_0=2$.
لدينا لكل $x\neq 2$ :

إذن $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}(x-5)=-3=f(2)$.
ومنه فإن الدالة $f$ متصلة في النقطة $x_0=2$.

لتكن $g$ الدالة المعرفة بـ :

لدينا لكل $x\notin\{0;3\}$ :

ومنه $\displaystyle\lim_{x\to 3} g(x)=\frac{1}{3}\times 1=\frac{1}{3}=g(3)$، إذن $g$ متصلة في النقطة $x_0=3$.
أما في $x_1=0$ فبما أن $0\notin D_g$ فإن $g$ غير متصلة في النقطة $x_1=0$.

لتكن $h$ الدالة المعرفة على $[-2\,;\,1]$ بـ $h(x)=E(x)$ (الجزء الصحيح). لدينا :

المنحنى $(\mathcal{C}_h)$ منقطع في النقط $-1$ و $0$ و $1$، ومنه فإن $h$ غير متصلة في هذه النقط. ويتم إثبات ذلك بسهولة باستعمال التعريف.

لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ $f(x)=\dfrac{-3x^2+2x+1}{x-1}$ لـ $x\neq 1$ و $f(1)=-4$. هل $f$ متصلة في النقطة $x_0=1$ ؟

التصحيح. لدينا $-3x^2+2x+1=-(3x^2-2x-1)=-(3x+1)(x-1)$، إذن لكل $x\neq 1$ :

ومنه $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=-4=f(1)$، إذن $f$ متصلة في $x_0=1$.

لتكن $g$ الدالة المعرفة بـ $g(x)=\dfrac{2x+\tan 3x}{\sin 5x}$ لـ $x\neq 0$ و $g(0)=1$. هل $g$ متصلة في النقطة $x_0=0$ ؟

التصحيح. بجوار $0$ لدينا $\tan 3x\sim 3x$ و $\sin 5x\sim 5x$، إذن :

ومنه فإن $g$ متصلة في النقطة $x_0=0$.

لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ :

ندرس الاتصال على اليمين وعلى اليسار في $x_0=0$. لدينا $f(0)=5$.

وبما أن النهايتين تساويان $f(0)$ فإن $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=f(0)$، ومنه فإن $f$ متصلة في $x_0=0$.

لتكن $g$ الدالة المعرفة بـ $g(x)=\dfrac{x^2-4}{|x-2|}$ لـ $x\neq 2$ و $g(2)=4$.

لكل $x>2$ لدينا $|x-2|=x-2$، إذن $g(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ ومنه :

لكل $x<2$ لدينا $|x-2|=-(x-2)$، إذن $g(x)=-(x+2)$ ومنه :

وبما أن النهاية على اليمين تخالف النهاية على اليسار فإن $g$ لا تقبل نهاية في $2$، ومنه فإن $g$ غير متصلة في $x_0=2$.

لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ $f(x)=\dfrac{2x}{x+2}$ لـ $x\leqslant 0$ و $f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x+4}$ لـ $x>0$. ادرس اتصال $f$ في النقطة $x_0=0$.

التصحيح. لدينا $f(0)=\dfrac{0}{2}=0$.
$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0 \\ x<0}} f(x)=\frac{0}{2}=0=f(0)$، إذن $f$ متصلة على اليسار في $0$.
$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0 \\ x>0}} f(x)=\frac{0}{4}=0=f(0)$، إذن $f$ متصلة على اليمين في $0$.
حسب الخاصية 3، $f$ متصلة في النقطة $x_0=0$.

لتكن $g$ الدالة المعرفة بـ $g(x)=x^2+3x$ لـ $x\leqslant 1$ و $g(x)=\dfrac{a\sin(x-1)}{x-1}$ لـ $x>1$، حيث $a$ عدد حقيقي.
حدد قيمة $a$ لكي تكون $g$ متصلة في النقطة $x_0=1$.

التصحيح. لدينا $g(1)=1+3=4$، و $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1 \\ x<1}} g(x)=4=g(1)$ : الاتصال على اليسار محقق دائمًا.

لكي تكون $g$ متصلة في $1$ يجب أن يكون $a=g(1)=4$.
إذن $a=4$.

لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ $f(x)=\dfrac{x^3-8}{x-2}$.
لدينا $2\notin D_f$، ولكل $x\neq 2$ :

إذن $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=4+4+4=12\in\mathbb{R}$.
ومنه فإن $f$ تقبل تمديدًا بالاتصال $g$ في النقطة $x_0=2$، والمعرفة بـ :

لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ $f(x)=\dfrac{\sin 2x}{x}$.
لدينا $0\notin D_f$ و $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x\to 0} 2\cdot\frac{\sin 2x}{2x}=2\in\mathbb{R}$.
إذن $f$ تقبل تمديدًا بالاتصال $g$ في $x_0=0$ معرفًا بـ :

أعط تمديدًا بالاتصال للدالة $f$ في النقطة $x_0$ في كل من الحالات التالية :

1. $f(x)=\dfrac{x^3+2x^2-4x-8}{x+2}$ و $x_0=-2$
2. $f(x)=\dfrac{x^4-a^4}{x-a}$ و $x_0=a$
3. $f(x)=\dfrac{1-\cos 2x}{x^2}$ و $x_0=0$

التصحيح.

1. $x^3+2x^2-4x-8=(x+2)(x^2-4)$، إذن لكل $x\neq -2$ : $f(x)=x^2-4$ ومنه $\displaystyle\lim_{x\to -2} f(x)=0$.
   التمديد : $g(x)=f(x)$ لـ $x\neq -2$ و $g(-2)=0$.
2. $x^4-a^4=(x-a)(x^3+ax^2+a^2x+a^3)$، إذن $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=4a^3$.
   التمديد : $g(x)=f(x)$ لـ $x\neq a$ و $g(a)=4a^3$.
3. بما أن $1-\cos 2x=2\sin^2 x$ فإن $f(x)=\dfrac{2\sin^2 x}{x^2}=2\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2$، ومنه $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=2$.
   التمديد : $g(x)=f(x)$ لـ $x\neq 0$ و $g(0)=2$.

1. كل دالة ثابتة متصلة على $\mathbb{R}$.
2. كل دالة حدودية $P$ متصلة على $\mathbb{R}$، لأن $\displaystyle\lim_{x\to x_0} P(x)=P(x_0)$ لكل $x_0\in\mathbb{R}$.
3. لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ $f(x)=\dfrac{x^3+x^2-2x+3}{x-2}$. لدينا $D_f=\;]-\infty\,;\,2[\;\cup\;]2\,;\,+\infty[$.
   نعلم أنه لكل $x_0$ من $D_f$ : $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$، إذن $f$ متصلة على كل من $]-\infty\,;\,2[$ و $]2\,;\,+\infty[$، ومنه فإن $f$ متصلة على كل مجال ضمن $D_f$.
4. كل دالة جذرية متصلة على كل مجال ضمن مجموعة تعريفها.
5. الدوال $x\mapsto \cos x$ و $x\mapsto \sin x$ و $x\mapsto \tan x$ متصلة على حيز تعريفها.

لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ $f(x)=2x-E(x)$.

1. بيّن أن $f$ متصلة على المجال $]0\,;\,1[$.
2. بيّن أنه لكل $k$ من $\mathbb{Z}$، الدالة $f$ متصلة على المجال $]k\,;\,k+1[$.

التصحيح.

1. لكل $x\in\;]0\,;\,1[$ لدينا $E(x)=0$، إذن $f(x)=2x$ على هذا المجال. وبما أن $x\mapsto 2x$ دالة حدودية فهي متصلة على $\mathbb{R}$، ومنه فإن $f$ متصلة على $]0\,;\,1[$.
2. ليكن $k\in\mathbb{Z}$. لكل $x\in\;]k\,;\,k+1[$ لدينا $E(x)=k$، إذن $f(x)=2x-k$ على هذا المجال، وهي دالة حدودية، إذن متصلة على $]k\,;\,k+1[$.

لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ $f(x)=\dfrac{x^2+x-1}{3|x-2|-6}$. ندرس اتصال $f$ على $D_f$.
لدينا $3|x-2|-6=0 \iff |x-2|=2 \iff x=0$ أو $x=4$، إذن :

نضع $f_1:x\mapsto x^2+x-1$ و $f_2:x\mapsto 3|x-2|-6$.
$f_1$ متصلة على $\mathbb{R}$ لأنها دالة حدودية، إذن فهي متصلة على كل مجال من $D_f$.
$f_2$ متصلة على $\mathbb{R}$ (جداء عدد في دالة القيمة المطلقة لدالة متصلة، زائد ثابت)، إذن فهي متصلة على كل مجال ضمن $D_f$.
وحيث إن $f_2(x)\neq 0$ لكل $x\in D_f$، فإن الدالة $f=\dfrac{f_1}{f_2}$ متصلة على كل مجال ضمن $D_f$.

لتكن $g$ الدالة المعرفة بـ $g(x)=\sqrt{x^2+4}\,\cos x$. نبين أن $g$ متصلة على $\mathbb{R}$.
بما أن الدالة $x\mapsto x^2+4$ متصلة وموجبة قطعًا على $\mathbb{R}$، فإن الدالة $g_1:x\mapsto\sqrt{x^2+4}$ متصلة على $\mathbb{R}$.
الدالة $g_2:x\mapsto \cos x$ متصلة على $\mathbb{R}$.
إذن الدالة $g=g_1\times g_2$ متصلة على $\mathbb{R}$.

1. لتكن $f$ الدالة المعرفة بـ $f(x)=|3x-1|+\dfrac{x-2}{x^2+x+2}$. بيّن أن $f$ متصلة على $\mathbb{R}$.
2. لتكن $g$ الدالة المعرفة بـ $g(x)=\dfrac{\sqrt{x-3}}{5-x}$. بيّن أن $g$ متصلة على المجال $[3\,;\,5[$.
3. ادرس اتصال الدالة $h:x\mapsto (x-1)E(x)$ على المجال $[0\,;\,3]$.

التصحيح.

1. الدالة $x\mapsto 3x-1$ حدودية إذن متصلة على $\mathbb{R}$، ومنه فإن $x\mapsto|3x-1|$ متصلة على $\mathbb{R}$.
   مميز $x^2+x+2$ هو $\Delta=1-8=-7<0$، إذن $x^2+x+2\neq 0$ لكل $x\in\mathbb{R}$، ومنه فإن $x\mapsto\dfrac{x-2}{x^2+x+2}$ متصلة على $\mathbb{R}$.
   مجموع دالتين متصلتين على $\mathbb{R}$ متصل على $\mathbb{R}$، إذن $f$ متصلة على $\mathbb{R}$.
2. لكل $x\in[3\,;\,5[$ لدينا $x-3\geqslant 0$، إذن $x\mapsto\sqrt{x-3}$ متصلة على $[3\,;\,5[$.
   ولدينا $5-x\neq 0$ على $[3\,;\,5[$، إذن خارج دالتين متصلتين، ومنه فإن $g$ متصلة على $[3\,;\,5[$.
3. نكتب $h$ على كل مجال جزئي :